设数列{An}的前n项和为Sn.且对任意正整数n,An+Sn=4096.(1)求数列{An}的通项公式(2)设数列{log2An}的前n项和为Tn。对数列{Tn},从第几项起Tn<-509?

设数列{An}的前n项和为Sn.且对任意正整数n,An+Sn=4096.(1)求数列{An}的通项公式(2)设数列{log2An}的前n项和为Tn。对数列{Tn},从第几项起Tn<-509?

因为A1=S1

所以A1+A1=4096 ==>A1=2048

因为An+Sn=4096 ==>A<n-1>+S<n-1>=4096

而An=Sn-S<n-1>

两式想减课的 An-A<n-1>+An=0 ==>An=1/2 *A<n-1>

所以数列An是一个以2048为首项 1/2为公比的等比数列

An=2048×(1/2)^(n-1)

因为log2 An=log2[2048×(1/2)^(n-1) ]

=log2(2048)+log2[(1/2)^(n-1)]

=log2(2^11)+log2[2^(-n+1)]

=11-n+1=12-n

所以Tn=11+10+9+...+(12-n)=[11+(12-n)]n/2=(23-n)n/2

令(23-n)n/2<-509 ===> n²-23n>1018 ==>(n-23/2)²>1018+529/4=4601/4

==>n-23/2>√4601/4 =(√4601)/2

比4601小的最大完全平方数时63²=3969

所以n-23/2>(√4601)/2 >(√3969)/2 ==>n-23/2>63/2 ==>n>(23+63)/2=44

又因为n∈N+ n最小值时45

经检验当n=45时 Tn=-495不满足 Tn<-509

当n=46 Tn=-529 满足Tn<-509

当n＞46时 显然 Tn<-509

所以对数列{Tn},从第45项起Tn<-509

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