勾股定理所有验证方法

勾股定理所有验证方法

[编辑本段]伽菲尔德证明勾股定理的故事　　

1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
　　如下:
　　解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的的正方形面积。
　　勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，
　　a^2+b^2=c^2
　　说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。
　　举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c^2= a^2+b^2=9+16=25即c=5
　　则说明斜边为5。
　　勾股定理的种证明方法（部分）
　　【证法1】（梅文鼎证明）
　　做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
　　∴ ∠EGF = ∠BED，
　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，
　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
　　∴ ∠ABC = ∠EBD.
　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
　　即 ∠CBD= 90°
　　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，
　　BC = BD = a.
　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
　　设多边形GHCBE的面积为S，则
　　,
　　∴ .
　　【证法2】（项明达证明）
　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
　　F作FN⊥PQ，垂足为N.
　　∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，
　　∴ ∠MPC = 90°，
　　∵ BM⊥PQ，
　　∴ ∠BMP = 90°，
　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.
　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °，
　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，
　　∴ ∠QBM = ∠ABC，
　　又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，
　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
　　【证法3】（赵浩杰证明）
　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.
　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
　　∴FI=a，
　　∴G,I,J在同一直线上，
　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
　　∠CJB = ∠CFD = 90°，
　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，
　　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
　　∴∠ABG = ∠BCJ,
　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
　　∵∠ABC= 90°,
　　∴G,B,I,J在同一直线上，
　　【证法4】（欧几里得证明）
　　做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
　　BF、CD. 过C作CL⊥DE，
　　交AB于点M，交DE于点L.
　　∵ AF = AC，AB = AD，
　　∠FAB = ∠GAD，
　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
　　∵ ΔFAB的面积等于，
　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM
　　的面积的一半，
　　∴ 矩形ADLM的面积 =.
　　同理可证，矩形MLEB的面积 =.
　　∵ 正方形ADEB的面积
　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
　　∴ ，即 a^2+b^2=c^2

勾股定理拼图验证 　　　　 拼图证法一 如图，正方形ABCD的面积 ＝ 4个直角三角形的面积 ＋ 正方形PQRS的面积 ∴ ( a ＋ b )2 ＝ 1/2 ab × 4 ＋ c2 a2 ＋ 2ab ＋ b2 ＝ 2ab ＋ c2 故 a2 ＋ b2 ＝c2 拼图证法二 图1中，甲的面积 ＝ (大正方形面积) － ( 4个直角三角形面积)。 图2中，乙和丙的面积和＝(大正方形面积)－( 4个直角三角形面积)。 因为图1和图2的面积相等， 所以甲的面积＝乙的面积＋丙的面积 c2 ＝ a2 ＋ b2 　　　　　　　　　　　　　　　拼图证法三 四个直角三角形的面积和 ＋小正方形的面积 ＝大正方形的面积， 2ab ＋ ( a －b ) 2 ＝ c2， 2ab ＋ a2 － 2ab ＋ b2 ＝ c2 故 a2 ＋ b2 ＝ c2 拼图证法四 梯形面积 = 三个直角三角形的面积和 1/2 × ( a + b ) × ( a + b ) = 2 × 1/2 × a × b + 1/2 × c × c (a + b )2 = 2ab + c2 a 2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 故 a2 + b2 = c2 http://www.tj4z.cn/dang/kejian/zhangmeng/%C6%B4%CD%BC%D1%E9%D6%A4.htm 有图在此网站

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