设函数f(x)=a的平方lnx-x的平方+ax,a大于0

求f(x)的单调区间

解：f(x)=a²lnx -x² +ax (a＞0)且x＞0
f‘(x)=a²/x -2x +a
令 f‘(x)=a²/x -2x +a＞0得：0＜x＜a
所以 函数f(x)在（0，a）单调递增，在a到正无穷单调递减。

函数应该是：f(x)=a^2*lnx-x^2-a^2+ax(a>0) 显然x>0（定义域） (1)易知f'(x)=a^2/x-2x+a=-(x-a)(2x+a)/x 因x>0，a>0，则2x+a>0 当0a时，x-a>0，则f'(x)<0，即f(x)递减 所以f(x)的递增区间为(0,a) f(x)的递减区间为(a,+∞) (2)易知x=a为f(x)的极大值点 若a<1 则f(x)在区间[1,e]上递减 于是在区间[1,e]上f(x)min=f(e)=ea-e^2，f(x)max=f(1)=-a^2+a-1 要使在区间[1,e]上e-1≤f(x)≤e^2恒成立 则必有区间[1,e]上e-1≤f(x)min≤f(x)≤f(x)max≤e^2恒成立 即e-1≤ea-e^2≤-a^+a-1≤e^2恒成立 显然-a^2+a-1<0，上式不成立 若1≤a≤e 则f(x)在区间[1,e]上不单调 于是在区间[1,e]上f(x)min=min{f(1),f(e)}=min{-a^2+a-1，ea-e^2}，f(x)max=f(a)=a^2(lna-1) 要使在区间[1,e]上e-1≤f(x)≤e^2恒成立 则必有区间[1,e]上e-1≤f(x)min≤f(x)≤f(x)max≤e^2恒成立 即e-1≤min{-a^2+a-1，ea-e^2}≤a^2(lna-1)≤e^2恒成立 显然a^2(lna-1)<0，上式不成立 若a>e 则f(x)在区间[1,e]上递增 于是在区间[1,e]上f(x)min=f(1)=-a^2+a-1，f(x)max=f(e)=ea-e^2 要使在区间[1,e]上e-1≤f(x)≤e^2恒成立 则必有区间[1,e]上e-1≤f(x)min≤f(x)≤f(x)max≤e^2恒成立 即e-1≤-a^2+a-1≤ea-e^2≤e^2恒成立 显然-a^2+a-1<0，上式不成立 综上知满足条件的实数a不存在

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