圆1与圆2相交与点A,B,点P在BA的延长线上，割线PCD交圆1于点C,D,割线PEF交圆2于点E,F.求证C,D,E,F四点共圆

圆1与圆2相交与点A,B,点P在BA的延长线上，割线PCD交圆1于点C,D,割线PEF交圆2于点E,F.求证C,D,E,F四点共圆

证明:连接CE,DF.
由割线定理可知:PC*PD=PA*PB;同理:PA*PB=PE*PF.
则PC*PD=PE*PF,PC/PE=PF/PD;又∠CPE=∠FPD.
所以,⊿CPE∽⊿FPD.(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)
得:∠PEC=∠PDF.则∠PDF+∠CEF=∠PEC+∠CEF=180度,故C,D,E,F四点共圆.

(注:若没学过割线定理,可连接CA,DB,易知∠PAC=∠PDB,又∠APC=∠DPB.则⊿PAC∽⊿PDB.
得PC/PA=PB/PD,PC*PD=PA*PB.)

证明:连接CE、DF,要证CDEF共圆,只需证角D加角CEF为平角,又角CEP加角CEF为平角,则只需证角D与角CEP等,则只需证三角形PCE与PFD相似,则只需证PC乘PD=PE乘PF,又易知PC乘PD=PA乘PB(PCA与PBD相似),同理有PE乘PF=PA乘PB,后面的不用说了吧,几何证明最重要的思想是从结论出发逆向推理!

连接AC、BD、CE、DF，ABCD四点公圆，∠D+∠CAB=180，所以∠D=∠PAC，又∠APC=∠CPA，所以三角形PCA相似于PBD，PC:PB=PA:PD，PA*PB=PC*PD。
同理，PA*PB=PE*PF，所以PC*PD=PE*PF，所以PC:PF=PE:PD，所以三角形PEC相似于三角形PDF，所以∠CDF=∠PEC，所以∠CDF+∠CEF=180，所以CDEF四点共圆。

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