线性代数判断题 n阶实方阵A为对称矩阵的充分必要条件是A有n个正交的特征向量
答案:1 悬赏:10
解决时间 2021-01-14 19:46
- 提问者网友：沉默的哀伤
- 2021-01-14 10:40
线性代数判断题 n阶实方阵A为对称矩阵的充分必要条件是A有n个正交的特征向量
最佳答案
- 二级知识专家网友：野味小生
- 2021-01-14 11:18
你记错了吧！
A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
A的n个特征向量正交，
说明A可正交对角化，
A必然是实对称矩阵。追答简要说明如下：
A的n个特征向量正交，
把每个特征向量单位化，
即可形成一个正交矩阵，
设为P，
设 P^(-1)·A·P=B
(B是对角矩阵)
所以，A=P·B·P^(-1)
由于P^(-1)=P^T
所以，A=P·B·P^T
所以，
A^T=P·B^T·P^T
=P·B·P^T
所以，A^T=A
所以，A是实对称矩阵。
A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
A的n个特征向量正交，
说明A可正交对角化，
A必然是实对称矩阵。追答简要说明如下：
A的n个特征向量正交，
把每个特征向量单位化，
即可形成一个正交矩阵，
设为P，
设 P^(-1)·A·P=B
(B是对角矩阵)
所以，A=P·B·P^(-1)
由于P^(-1)=P^T
所以，A=P·B·P^T
所以，
A^T=P·B^T·P^T
=P·B·P^T
所以，A^T=A
所以，A是实对称矩阵。
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