线性迭代xn+yn√2=(1-√2)∧n证明 xn+1=yn+1 + yn, yn+1=xn+y

线性迭代xn+yn√2=(1-√2)∧n证明 xn+1=yn+1 + yn, yn+1=xn+y

x(n+1)=√(xnyn)＜(xn+yn)/2=y(n+1)
于是0＜xn＜yn恒成立
y(n+1)=(xn+yn)/2＜(yn+yn)/2=yn
于是yn单调减，而yn＞0，于是单调减且有下界
于是limyn存在
令limyn=A＞0
因为xn＜yn，于是xn＜A
x(n+1)=√(xnyn)＞√(xnxn)=xn
于是xn单调增，而xn＜A，于是xn单调增有上界
于是limxn存在
令limxn=B
则limx(n+1)=√(AB)=B＞0
得A=B
即limxn=limyn

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