这道题怎么做😊

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令t=tan[x],
∫√(1+t^2) dt 
= ∫sec[x]d(tan[x]) 
= sec[x]tan[x] - ∫tan[x]d(sec[x]) 
= sec[x]tan[x] - ∫tan[x](tan[x]sec[x])dx 
= sec[x]tan[x] - ∫(sec[x]sec[x]-1)sec[x]dx
= sec[x]tan[x] - ∫sec[x]d(tan[x])dx + ∫sec[x]dx
所以∫sec[x]d(tan[x]) =1/2sec[x]tan[x]+ 1/2∫sec[x]dx
其中∫sec[x]dx = ∫sec[x]{sec[x]+tan[x]}/{sec[x]+tan[x]} dx
= ∫d{tan[x]+sec[x]}/{sec[x]+tan[x]}
= ln{sec[x]+tan[x]}
所以∫sec[x]d(tan[x]) =1/2sec[x]tan[x]+ 1/2ln{sec[x]+tan[x]} + C
代回得,
∫√(1+t^2) dt 
= t√(1+t^2) /2 + 1/2ln{t+√(1+t^2) }+ C

将积分上下限带入
t=1时= √(1+1) /2 + 1/2ln{1+√(1+1) }+ C
= √2/2 + 1/2ln{1+√2}+ C

t=√x时= √x√(1+x) /2 + 1/2ln{√x+√(1+x) }+ C

积分=√2/2 + 1/2ln{1+√2}-[√x√(1+x) /2 + 1/2ln{√x+√(1+x) }]

自己合并下同类项吧

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