已知关于x的方程 3^(2x+1)+(m-1)[3^(x+1)-1]-(m-3)·3^x=0 有两

已知关于x的方程
3^(2x+1)+(m-1)[3^(x+1)-1]-(m-3)·3^x=0
有两个不同的实数根
求m的取值范围

令t=3^x, 则t>0,故关于t的以下方程有2个不同正根
方程化为：3t^2+(m-1)(3t-1)-(m-3)t=0
即3t^2+2mt-m+1=0
有2个不同正根，须同时满足：
判别式=(2m)^2-4*3*(-m+1)=4(m^2+3m-3)>0,得：m>(-3+√21)/2, 或m<(-3-√21)/2
两根和=-2m/3>0,得：m<0
两根积=(-m+1)/3>0,得：m<1
综合得：m<(-3-√21)/2

原式化为 3t^2+(m-1)(3t-1)-(m-3)t =3t^2+2mt-m+1=0,由于方程有两个不相等的实数根。则德尔塔=4m^2-12(m-1)=4m^2+12m-12>0,所以m>(-3+根号21)/2，m<(-3-根号21)/2

由于t>0，则当t=0时对于关于t的函数3t^2+2mt-m+1>0,解得m＜1

综上m的取值范围是m<(-3-根号21)/2

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