如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3，D是BC边上一点，直线DE⊥BC于点D，交AB于点E，CF∥AB交直线DE于点F，设CD=x

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3，D是BC边上一点，直线DE⊥BC于点D，交AB于点E，CF∥AB交直线DE于点F，设CD=x

（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？

（2）当x取何值时，四边形EACF面积等于2？

两个答案都是2

 （1,）由题可知，四边形EACF是平行四边形， 则∠A=∠CFD，EF∥AC， 故∠ACB=∠FDC， 故△ABC∽△FCD， 即AB：CF=BC：CD 又∵AB=

4+9

=

13

（勾股定理），BC=3 所以当CF=AC=2时，EACF是菱形． ∴

13

：2=3：CD 所以x=CD=

6 13

13

时，▱EACF是菱形． （2）因为四边形EACF为平行四边形EACF 所以S平行四边形EACF=AC乘CD 因为AC=2,S平行四边形EACF=2 所以CD=1 所以X=1

解：（1）∵∠ACB=90°， ∴AC⊥BC， 又∵DE⊥BC， ∴EF∥AC 又∵AE∥CF， ∴四边形EACF是平行四边形． 当CF=AC时，四边形ACFE是菱形． 此时，CF=AC=2，BD=3-x，tan∠B=

2

3

， ∵tan∠b=

ED

BD

． ∴ED=BD•tan∠B=

2

3

（3-x）． ∴DF=EF-ED=2-

2

3

（3-x）=

2

3

x． 在Rt△CDF中，CD²+DF²=CF²， ∴x²+（

2

3

x）²=2²， ∴x=±

6

13

13

（负值不合题意，舍去）． 即当x=

6

13

13

时，四边形ACFE是菱形． （2）由已知得，四边形EACD是直角梯形，S_梯形EACD=

1

2

×（4-

2

3

x）•x=-

1

3

x²+2x， 依题意，得-

1

3

x²+2x=2． 整理，得x²-6x+6=0． 解之，得x₁=3-

3

，x₂=3+

3

． ∵x=3+

3

＞BC=3， ∴x=3+

3

舍去． ∴当x=3-

3

时，梯形EACD的面积等于2．

高难度东东...小P孩不会...灌下水!

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