若1＜m＜n 求证（1+m）的n次方＞（1+n）的m次方
答案:2 悬赏:50
解决时间 2021-04-28 05:36
- 提问者网友：血樱陌殇
- 2021-04-27 10:29
能用二次项定理解吗？
最佳答案
- 二级知识专家网友：承载所有颓废
- 2021-04-27 11:50
两边取自然对数：
nIn(1+m)>mIn(1+n)
同除mn：
In(1+m)/m>In(1+n)/n
令h(x)=In(1+x)/x
则h'(x)
=(x/(1+x)-In(1+x))/x^2
取g(x)=x/(1+x)-In(1+x)
g'(x)=(1+x-x)/(1+x)^2-1/(1+x) =-x/(1+x)^2<0，g(x)单调减
g(x)<=g(1）=1/2-In2=In(e^1/2/2)<0
从而h'(x)<0,h(x)单调减
1＜m＜n
g(m)>g(n)
即（1+m）的n次方＞（1+n）的m次方
nIn(1+m)>mIn(1+n)
同除mn：
In(1+m)/m>In(1+n)/n
令h(x)=In(1+x)/x
则h'(x)
=(x/(1+x)-In(1+x))/x^2
取g(x)=x/(1+x)-In(1+x)
g'(x)=(1+x-x)/(1+x)^2-1/(1+x) =-x/(1+x)^2<0，g(x)单调减
g(x)<=g(1）=1/2-In2=In(e^1/2/2)<0
从而h'(x)<0,h(x)单调减
1＜m＜n
g(m)>g(n)
即（1+m）的n次方＞（1+n）的m次方
全部回答
- 1楼网友：社会水太深
- 2021-04-27 12:18
两边取自然对数：
nin(1+m)>min(1+n)
同除mn：
in(1+m)/m>in(1+n)/n
令h(x)=in(1+x)/x
则h'(x)
=(x/(1+x)-in(1+x))/x^2
取g(x)=x/(1+x)-in(1+x)
g'(x)=(1+x-x)/(1+x)^2-1/(1+x) =-x/(1+x)^2<0，g(x)单调减
g(x)<=g(1）=1/2-in2=in(e^1/2/2)<0
从而h'(x)<0,h(x)单调减
1＜m＜n
g(m)>g(n)
即（1+m）的n次方＞（1+n）的m次方
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