N元二次型

N元二次型

定义：
含有n个变量x1,x2,...,xn的二次齐次函数
f(x1,x2,...,xn)=
a11x1²+a22x2²+...+annxn²+
2a12x1x2+2a13x1x3+...+2a1nx1xn+
2a23x2x3+...+2a2nx2xn+...+2an-1,n xn-1 xn
称为n元二次型。如规定aij=aji，则二次型有矩阵表示
f(x1,x2,...,xn)=xTAx，其中x=（x1,x2,...,xn)T，A=（aij），且AT=A是对称矩阵。
称A为二次型的矩阵。

f(x1,x2,...,xn)=xTBx，根据定义，aij=aji，所以（xTBx）T=xTBx，BT=B
f(x1,x2,...,xn)=xTBx=（xTBx+xTBx）/2 (第一行）
= （xTBx+(xTBx)T）/2 （第二行）
=（xTBx+xTBTx）/2 (第三行）（根据矩阵运算法则(AB)T=BTAT)
=xT(B+BT)/2 x

其实， 根据定义 BT=B，则 BT+B = B+B
那么 (B+BT)/2 = B
xTBx = xT(B+BT)/2 x ，把上式带入即可。

newmanhero 2015年3月14日15:27:42

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