伯德图的分析过程

伯德图的分析过程

绘制伯德图的一般步骤为：首先将开环频率特性G(jω)H(jω)改写为基本环节的乘积，画出各基本环节的伯德图，然后把各基本环节伯德图的对数幅值相加，相角相加，就得到G(jω)H(jω)的伯德图.得到伯德图后，对其进行一定的分析，就可以得到系统的稳定特性等。 系统开环传递函数由八种典型环节构成，将任意开环传递函数的分子、分母进行因式分解，都可以将开环传递函数转化为若干典型环节的乘积，这八种典型环节为 ：比例环节K;惯性环节（Ts+1）-1 (T>0);一阶微分环节Ts+1 (T>0);积分环节s-1;微分环节s;振荡环节 ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)， (ωn>0， 0<ζ<1);二阶微分环节 (s /ωn)2+2ζs /ωn+1 (ωn>0， 0<ζ<1);延迟环节eτs.具体计算过程如下：
频率特性可以写成一般的形式（公式1）
式中K为增益(放大系数)，ωn为无阻尼自然频率，ζ 为阻尼比。
频率特性的对数幅值(使用记号Lm)表达式为（公式2）
频率特性的相角表达式为（公式3）或（公式4） 画伯德图时，分三个频段进行，先画幅频特性，顺序是中频段、低频段和高频段。将三个频段的频率特性(或称频率响应)合起来就是全频段的幅频特性，然后再根据幅频特性画出相应的相频特性来。
作伯德图时，首先写出频率特性，然后按常数因子K、积分和微分因子(jω)、一阶因子(1+jωT)和二阶因子[1+2ζ(jω/ωn)+(jω)/ω]1这样四种基本因子分别画出伯德图，再总加而成。
图2、图3是常见简易传递函数的伯德图趋势。 伯德图可用来计算负反馈系统的增益裕度（gain margin）及相位裕度，进而确认系统的稳定性。
相关符号定义
先定义以下的符号：

其中：
·AFB是考虑反馈时的放大器增益（闭环增益）
· β是反馈系数
· AOL是不考虑反馈时的放大器增益（开环增益）。
在开环增益AOL远大于1时，闭环增益AFB可以用以下方式近似

在开环增益AOL远小于1时，闭环增益AFB可以用以下方式近似

增益AOL是频率的复变函数，有大小及相位。
上述的式子中，若βAOL乘积=−1时，可能会出现增益无穷大（即为不稳定）的情形。（若用大小和相位来表示，此时βAOL的大小为1，相位为-180度，此条件即称为巴克豪森稳定性准则。配合波德图，不但可以判断系统是否稳定，也可以判断系统接近以上不稳定条件的程度。
在判断系统稳定性时，会用到以下二个频率。第一个频率f180是上述乘积相位恰为-180度的频率，第二个频率f0dB则为乘积的绝对值|βAOL|=1时的频率（若以分贝表示时，则为0dB）。频率f180可以用下式来计算：
其中| |表示复数的绝对值（例如|a+jb| = [a+b]）。而频率f0dB有以下的关系：

增益裕度及相位裕度
增益裕度
增益裕度（gain margin, GM）是衡量系统稳定程度的一种方法。在波德相位图上可以找到βAOL相位到达-180度时的频率，该频率即为f180，之后就可以在增益图上找到该频率时βAOL的大小。
若|βAOL|180= 1，表示此系统不稳定。若|βAOL|180< 1，此系统稳定，而|βAOL|分贝值和0dB（对应增益大小为1）的距离表示系统距离不稳定的程度，称为增益裕度。
增益裕度也可以用下式表示：

相位裕度
相位裕度（phase margin, PM）是另一种衡量系统稳定程度的方法。在波德增益图上可以找到|βAOL|大小为1的频率，该频率即为f0dB，之后就可以在相位图上找到该频率时βAOL的相位。
若βAOL(f0dB) 的相位 > −180°，表示在任何频率时系统都会稳定，因为在f180时大小已小于1，f0dB时的相位和-180度之间的差称为相位裕度。
若只是单纯要判断系统是否稳定，在系统为最小相位系统时，若f0dB若是非最小相位系统，需要用其他方式判断稳定性，如奈奎斯特图

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