求点(3,-1,2)到直线x+y-z+1=0,2x-y+z-4=0的距离

求点(3,-1,2)到直线x+y-z+1=0,2x-y+z-4=0的距离

|1.
先求出过点与直线的垂直的平面：
法向量为n=|i j k
1 1 -1
2 -1 1|
=(0,-3,-3)=-3(0,1,1)
所以
平面为：（y+1）+(z-2)=0
y+z-1=0
2.
求出交点
x+y-z+1=0,
2x-y+z-4=0
y+z-1=0
解得
x=1
y=-1/2
z=3/2
3. 距离
d=√(3-1)²+(-1+1/2)²+(2-3/2)²=(3√2)/2

求点P(3,-1,2)到直线L: x+y-z+1=0,2x-y+z-4=0的距离. 解：x+y-z+1=0..........①；2x-y+z-4=0............② 令x=1；代入①②都得y-z=-2；因此可在直线L上取M(1，-2，0)和N(1，2，4)两点， 那么直线的方向数为{1-1，2+2，4-0}={0，4，4} 故直线L的标准方程为：(x-1)/0=(y+2)/4=(z-0)/4；即(x-1)/0=(x+2)/4=z/4..........③ 过P(3，-1，2)作平面α垂直于直线L，那么可取直线L的方向数作为平面α的法向矢量， 故平面α的方程为：0(x-3)+4(y+1)+4(z-2)=4y+4z-4=0；即y+z-1=0.............④ 下面求出L与平面α的交点的坐标：令(x-1)/0=(y+2)/4=z/4=t；则直线L的参数方程为： x=1；y=4t-2；z=4t；代入α的方程④，得8t-3=0；故t=3/8; 于是得x=1；y=(3/2)-2=-1/2；z=3/2；即直线L与平面α的交点Q(1，-1/2，3/2); ∴点P与直线L的距离h=∣PQ∣=√[(3-1)²+(-1+1/2)²+(2-3/2)²]=√[4+(1/4)+(1/4)] =√(18/4)=(3/2)√2.

两个平面的法向量分别为 n1=（1，1，-1），n2=（2，-1，1）， 因此与已知直线垂直的平面的法向量为 n=n1×n2=（0，-3，-3）， 那么过 a（3，1，2）且与已知直线垂直的平面方程为 -3(y-1)-3(z-2)=0 ，化简得 y+z-3=0 ， 联立三个方程：x+y-z+1=0，2x-y+z-4=0 ，y+z-3=0 ，可解得交点坐标为 b（1，1/2，5/2）， 因此，所求距离为 |ab|=√[(3-1)^2+(1-1/2)^2+(2-5/2)^2]=3/2*√2 。

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