2f(x)=f(2x)时，如何证明f(x)是线性函数

请用高中的定理、公里来证。

更一般的问题，当n^a *f(x)=f(n*x)时 如何证明f(x)=k*x^a （k是个常数）（或否定）

f(nx) = n^a f(x)

把n 也视为变量，由上式还可推得
f(nx) = x^a f(n)

所以
n^a f(x) = x^a f(n)
f(x) = [f(n)/n^a] x^a

把n看作参数，则 f(n)/n^a = k
f(x) = k x^a

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本推导的第一步，可能不习惯。但却是成立的。
f(nx) = n^a f(x)
这个式子，只是n被看成了 整数，而x是可连续的有理数
但其实没有必要一定把n看成整数，例如 f(0.13x) = 0.13^a f(x)
既然n可以看成随意取值的。我们可以把
f(nx) = n^a f(x) 理解为
f(yx) = y^a f(x)
当然就有
f(yx) = x^a f(y)

2f(x)-f(2x)=0

令t=x;

2f(t)-f(2t)=0    ...........................（1）

令t=x/2 ;

2f(2t)-f(t)=0    ...... ........................(2)

由（1）得：

4f(t)-2f(2t)=0  .................................(3)

(2)+(3)得：

3f(t)=0;

所以f(t)=0

即f(x)是线性函数

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