已知{an}是正数组成的数列 a1=1 且点（根号an ，a(n+1)）(n∈N*)在函数y=x^2+1的图像上

（1）求数列{an}的通项公式
（2）若数列{bn}满足b1=1,b(n+1)=bn+2^an,求bn﹡b（n+2）﹤b^2(n+1)

1、
把(√an，a(n+1))代入y=x²+1，得
a(n+1)=an + 1
即数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列。
∴an = n

2、
∵b(n+1)=bn+2^an
∴b(n+1) - bn = 2^an = 2^n
∴有：
bn - b(n-1) = 2^(n-1)
b(n-1) - b(n-2) = 2^(n-2)
b(n-2) - b(n-3) = 2^(n-3)
·
·
·
b3 - b2 = 2²
b2 - b1 = 2
全加，得
bn - a1 = 2 + 2² + 2³ + …… + 2^(n-1) = 2^n - 2
∴bn = 2^n - 1
bn·b(n+2)
=(2^n - 1)[2^(n+2) - 1]
=2^(2n+2) - 2^n - 2^(n+2) + 1
=2^(2n+2) - 2^(n+2) + 1 - 2^n
=[2^(n+1)]² - 2×2^(n+1) + 1 -2^n
=[2^(n+1) - 1]² - 2^n
≤[2^(n+1) - 1]²
＝b²(n+1)

(1)a(n+1)=根号an ^2+1=an+1 ∴an=a(n-1)+1 ∴an为d=1的等差数列 a1=0^2+1=1 ∴数列{an}的通项公式为an=n (2)∵b(n+1)=bn+2^an,an=n ∴b(n+1)=bn+2^n ∴b(n+1)=b1+2^(n+1) - 2=2^(n+1) - 1 ∴bn=2^n-1 b(n+2)=2^(n+2) - 1 bn﹡b（n+2）=2^(2n+2) - 5﹡2^n +1 b[2(n+1)]=2^(2n+2)-1 b[2(n+1)] - bn﹡b（n+2）=5﹡2^n - 2 ∵n∈N* ∴5﹡2^n - 2>0 ∴bn﹡b（n+2）﹤b^2(n+1)成立

1.a(n+1)=an+1 所以，a(n+1)-an=1 所以，an=n 2.b(n+1)-bn=2^n 所以，bn=2^(n-1) 所以，bnxb(n+2)=2^(n-1)x2^(n+1)=2^(2n) b^2(n+1)=[2^(n)]^2 所以，bn﹡b（n+2）﹤b^2(n+1)

(1)由点（根号an ，a(n+1)）(n∈N*)在函数y=x^2+1的图像上得：a(n+1)=an+1 又因为a1=1 所以通项公式为：an=n （2）b(n+1)=bn+2^an 即：b(n+1)=bn+2n得通项公式为：bn=b1+n*（n-1）=n ^2-n+1 所以bn﹡b（n+2）=（n ^2-n+1）（n ^2+3n+3）=n^4+2n^3+n^2+3 b^2(n+1)=n^4+2n^3+3n^2+2n+1 所以bn﹡b（n+2）﹤b^2(n+1)

（1）点（根号an ，a(n+1)）在函数y=x^2+2的图像上，则 a(n+1)=(√an)²+2=an+2，∴a(n+1)-an=2 ∴an是公差为2等差数列，an=a1+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1 （2）设cn=b(n+1)-bn，由b(n+1)=bn+2^a(n+1)得 cn/c(n-1)=2^a(n+1)/2^an=2^(a(n+1)-an)=2^2=4 ∴cn是公比为4的等比数列；cn=c1*q^(n-1) b1=2，a2=3，∴b2=b1+2^a2=11，c1=b2-b1=9 ∴cn=c1*q^(n-1)=9*4^(n-1)=b(n+1)-bn ∴b(n+1)=bn+9*4^(n-1) bn=b(n-1)+9*4^(n-2) b(n-1)=b(n-2)+9*4^(n-3) ...... b2=b1+9*4^0 上述n个等式加起来，得 b(n+1)=b1+9*[4^(n-1)+4^(n-2)+...+4^0] =b1+9*(1-4^n)/(1-4) =2+(4^n-1)/3 ∴bn通式为 bn=2+(4^(n-1)-1)/3

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