已知直线L 过点P (2，1)且与x ，y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，

已知直线L 过点P (2，1)且与x ，y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，
①当△AOB 面积最小时，求直线L 的方程；
②当|PA ||PB |最小时，求直线L 的方程。【谢谢。】

解法1.设此直线方程为x/a y/b=1，（a，b都是正数）
直线过p(2,1)，2/a 1/b=1，得b=a/（a-2），a≠2，
设t=│OA││OB│=a*b=a*a/（a-2），即t=a??/（a-2），
因为a≠2，所以a??-ta 2t=0，a是实数，
⊿=t??-8t≥0，因为t＞0，可得S≥8.
即t的最小值是8，
此时有a=4，b=2，
直线L方程为x/4 y/2=1，即x 2y-4=0.

解法2.设此直线方程为 y-1=k(x-2），k＜0.
得A（（2k-1）/k，0），B（0，-（2k-1）），
t=│OA││OB│=| （2k-1）/k*【-（2k-1）】|
=| （4k?? 1-4k）/k|
=| 4k 1/k-4|，
因为k＜0，-4k-1/k＞0，
由均值不等式，-4k-1/k≥2√（-4k）（-1/k）=4，
4k /k-4≤ -8，t≤ |-8|=8，
当且仅当-4k=-1/k，即k=-1/2 （k＜0）时t有最小值8.
故直线方程为 y-1=-1/2(x-2），
即x 2y-4=0.

设直线为y-1=k(x-2);k<0,与x,y轴的正半轴分别交于点a,b a(2-(1/k),0)b(0,1-2k) │pa││pb│=2√[2+(k)²+(1/k)²]≥2√(2+2)=4 此时(k)²=(1/k)² k=-1 x+y=3

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