余弦定理的证明
答案:1 悬赏:40
解决时间 2021-10-14 06:04
- 提问者网友：自食苦果
- 2021-10-13 18:38
余弦定理的证明
最佳答案
- 二级知识专家网友：我住北渡口
- 2021-10-13 18:43
在△ABC中，AB＝c、BC＝a、CA＝b
则c^2＝a^2＋b^2－2ab*cosC
a^2＝b^2＋c^2－2bc*cosA
b^2＝a^2＋c^2－2ac*cosB
下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
过A作AD⊥BC于D ，则BD＋CD＝a
由勾股定理得：
c^2＝(AD)^2＋(BD)^2 ，(AD)^2＝b^2－(CD)^2
所以c^2＝(AD)^2－(CD)^2＋b^2
＝(a－CD)^2－(CD)^2＋b^2
＝a^2－2a*CD ＋(CD)^2－(CD)^2＋b^2
＝a^2＋b^2－2a*CD
因为cosC＝CD/b
所以CD＝b*cosC
所以c^2＝a^2＋b^2－2ab*cosC
题目中 ^2表示平方。
则c^2＝a^2＋b^2－2ab*cosC
a^2＝b^2＋c^2－2bc*cosA
b^2＝a^2＋c^2－2ac*cosB
下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
过A作AD⊥BC于D ，则BD＋CD＝a
由勾股定理得：
c^2＝(AD)^2＋(BD)^2 ，(AD)^2＝b^2－(CD)^2
所以c^2＝(AD)^2－(CD)^2＋b^2
＝(a－CD)^2－(CD)^2＋b^2
＝a^2－2a*CD ＋(CD)^2－(CD)^2＋b^2
＝a^2＋b^2－2a*CD
因为cosC＝CD/b
所以CD＝b*cosC
所以c^2＝a^2＋b^2－2ab*cosC
题目中 ^2表示平方。
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