sin4次方的不定积分怎么求

sin4次方的不定积分怎么求

具体解答过程：
=∫(sinx)^4dx
=∫(1-cos²x)²dx  【利用公式cos²x+sin²x=1】
=∫(1 - cos2x)/2)^2dx  【利用公式cos²x=(cos2x+1)/2】=∫(1 - 2cos2x + (cos2x)^2)/4 dx  
=∫[1/4- 1/2cos2x + 1/8*(1 + cos4x)]dx  【利用cos²2x=(cos4x+1)/2】
=∫[(cos4x)/8 - (cos2x)/2 + 3/8] dx
=(sin4x)/32 - (sin2x)/4 + (3x/8) + C
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。 
不定积分(11张)
其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
由定义可知：
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。

扩展资料
在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
由定义可知：
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。
参考资料：不定积分的百度百科

最终答案是
3/8x-1/4sin2x+1/32sin4x+c

sinx的四次方的积分需借助降幂公式求解。
具体解答过程：
=∫(sinx)^4dx
=∫(1-cos²x)²dx  【利用公式cos²x+sin²x=1】
=∫(1 - cos2x)/2)^2dx  【利用公式cos²x=(cos2x+1)/2】
=∫(1 - 2cos2x + (cos2x)^2)/4 dx  
=∫[1/4- 1/2cos2x + 1/8*(1 + cos4x)]dx  【利用cos²2x=(cos4x+1)/2】
=∫[(cos4x)/8 - (cos2x)/2 + 3/8] dx
=(sin4x)/32 - (sin2x)/4 + (3x/8) + C
说明：对于正（余）弦函数积分而言，当次幂数为偶数时，应首先使用降幂公式，将次幂数降低，从而简化计算；当次幂数为奇数时，应先采用凑微分法，即sinxdx=-dcosx和cosxdx=dsinx将前面奇数次幂转化为偶数次幂，然后通过降幂公式进行求解。

∫(sinx)^4dx
=∫[(1/2)(1-cos2x]^2dx
=(1/4)∫[1-2cos2x+(cos2x)^2]dx
=(1/4)∫[1-2cos2x+(1/2)(1+cos4x)]dx
=(3/8)∫dx-(1/2)∫cos2xdx+(1/8)∫cos4xdx
=(3/8)∫dx-(1/4)∫cos2xd2x+(1/32)∫cos4xd4x
=(3/8)x-(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C

扩展资料：
 
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分，但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成初等函数的有限次复合，原函数不可以表示成初等函数的有限次复合的函数称为不可积函数。利用微分代数中的微分Galois理论可以证明，如  ，xx ，sinx/x这样的函数是不可积的。
参考资料：
不定积分_百度百科

sinx的四次方的积分需借助降幂公式求解。
具体解答过程：
=∫(sinx)^4dx
=∫(1-cos²x)²dx  
=∫(1 - cos2x)/2)^2dx =∫(1 - 2cos2x + (cos2x)^2)/4 dx  
=∫[1/4- 1/2cos2x + 1/8*(1 + cos4x)]dx 
=∫[(cos4x)/8 - (cos2x)/2 + 3/8] dx
=(sin4x)/32 - (sin2x)/4 + (3x/8) + C
3.对于正弦函数积分而言，当次幂数为偶数时，应首先使用降幂公式，将次幂数降低，从而简化计算；当次幂数为奇数时，应先采用凑微分法，即sinxdx=-dcosx和cosxdx=dsinx将前面奇数次幂转化为偶数次幂，然后通过降幂公式进行求解。

扩展资料
在直角三角形中，∠α（不是直角）的对边与斜边的比叫做∠α的正弦，记作sinα，即sinα=∠α的对边/∠α的斜边 。sinα在拉丁文中计做sinus。

在古代的说法当中，正弦是勾与弦的比例。 古代说的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边。 股就是人的大腿，古人称直角三角形中长的那个直角边为“股”。
正弦是∠α（非直角）的对边与斜边的比，余弦是∠α（非直角）的邻边与斜边的比。
勾股弦放到圆里。弦是圆周上两点连线。最大的弦是直径。 把直角三角形的弦放在直径上，股就是长的弦，即正弦，而勾就是短的弦，即余弦。
按现代说法，正弦是直角三角形某个角（非直角）的对边与斜边之比，即：对边/斜边。
参考资料：百度百科-sin（函数名称）

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